为什么矩阵对角元素之和等于特征值之和

因为特征值和特征向量是线性代数中矩阵的重要概念之一

根据定义,行列式是不同行不同列的项的乘积之和

要得到λ^(n-1)只能取对角线上元素的乘积

（λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)

所以特征多项式的n-1次项系数是-(a11+a22+...+ann)

而特征多项式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn),n-1次项系数是-(λ1+λ2+...+λn)

所以a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn,8,这个就是矩阵迹的定义

设有N阶矩阵A，那么矩阵的迹（用tr（A）表示）就等于A的特征值的总和，也即A矩阵的主对角线元素的总和。

《2》

回答如下：矩阵对角元素之和等于特征值之和的原因如下：

1. 特征值定义：矩阵A的特征值是Ax = λx的解λ，其中x是非零向量。

2. 矩阵的迹定义：矩阵A的迹是其对角元素之和，即tr(A) = a11 + a22 + ... + ann。

3. 特征值的性质：矩阵A的特征值之和等于其迹，即λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)。

结合上述三个定义和性质，可以得到矩阵对角元素之和等于特征值之和的结论：

设A的特征值为λ1,λ2,...,λn，对应的特征向量为x1,x2,...,xn，那么有：

Ax1 = λ1x1

Ax2 = λ2x2

...

Axn = λnxn

将上述式子的所有方程两边同时取迹，可得：

tr(Ax1) = tr(λ1x1)

tr(Ax2) = tr(λ2x2)

...

tr(Axn) = tr(λnxn)

由于矩阵乘积的迹与乘积顺序无关，因此有：

tr(Ax1) = tr(x1A)

tr(Ax2) = tr(x2A)

...

tr(Axn) = tr(xnA)

进一步地，有：

tr(AX) = tr(XA)

其中X = [x1,x2,...,xn]是由特征向量构成的矩阵。因此，有：

tr(AX) = tr(λX)

tr(XA) = tr(λX)

由于tr(λX) = λ1 + λ2 + ... + λn，tr(A) = a11 + a22 + ... + ann，因此有：

a11 + a22 + ... + ann = λ1 + λ2 + ... + λn

即矩阵对角元素之和等于特征值之和。