如何判断向量的线性相关和线性无关性

要判断向量的线性相关和线性无关性，需要找出它们之间的关系。具体而言，如果有一组向量 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n$，它们满足以下条件，则它们是线性相关的：1. 存在一个或多个不全为0的实数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$，使得 $k_1 \boldsymbol{v}_1 + k_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + k_n \boldsymbol{v}_n = \boldsymbol{0}$。

2. 如果向量 $\boldsymbol{v}_i$ 可以表示成其他向量的线性组合，则它可以被从向量集合中移除，而向量组不受影响。

如果上述条件不成立，则这组向量是线性无关的。

举个例子，如果有两个向量 $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，它们是否线性相关呢？我们可以写出它们的线性组合：

$a \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

解得 $a = -b$，于是它们是线性相关的。如果我们再加一个向量 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，则可以发现这三个向量是线性无关的，因为无法找到任何一组不为0的系数，使得它们的线性组合等于$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。