幂函数导数推导

f(x)=xⁿ

f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

=lim(Δx→0)[(x+Δx)ⁿ-xⁿ]/Δx

=lim(Δx→0)[(x+Δx-x)·[(x+Δx)^(n-1)+(x+Δx)^(n-2)·x+...(x+Δx)x^(n-2)+x^(n-1)]/Δx

=x^(n-1)+(x)^(n-2)·x+...+x·x^(n-2)+x^(n-1)

=nx^(n-1)

一般地.形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。

幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

《2》

幂指函数求导公式：通过公式ab=e(blna)变形后再对方程度两边同时求导；通过公式ab=a(blna)变形后再对方程两边同时对x求导，把y看做成常数。需要ab=e(blna)的公式变换，公式变换后，再对方程两边求导。

幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都含有自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。